Introduction

Le sujet original peut être trouvé à cette adresse, via l'APMEP.

Modifications effectuées :

• la partie B, non exigible en temps limité, a été ajoutée. Elle est destinée aux enseignants ou élèves intéressés par les problèmes se posant lors de la mise en pratique de certains algorithmes numériques.

Partie A : la théorie

On considère la suite $(I_n)$ définie pour $n$ entier naturel non nul par : $$ I_n = \int_{0}^{1}x^ne^{x^2}\, dx. $$

1. 1. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=xe^{x^2}.$
      Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\frac{1}{2}e^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.
   2. En déduire la valeur de $I_1$.
   3. A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a: $$ I_{n+2} = \frac{1}{2}e - \frac{n+1}{2}I_n. $$
   4. Calculer $I_3$ et $I_5$.
2. On considère l'algorithme suivant :

   Initialisation	Affecter à $n$ la valeur 1 Affecter à u la valeur $\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}$
   Traitement	Tant que $n < 21$ Affecter à $u$ la valeur $\frac{1}{2}e-\frac{n+1}{2}u$ Affecter à $n$ la valeur $n + 2$
   Sortie	Afficher $u$

   Quel terme de la suite $(I_n)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ?
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n \geq 0$.
   2. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
   3. En déduire que la suite $(I_n)$ est convergente. On note $l$ sa limite.
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
   Déterminer la valeur de $l$.

Partie B : mise en pratique

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

En utilisant l'algorithme ci-dessus (légèrement modifié), on a calculé les termes successifs de la suite $I_n$, voici les valeurs obtenues :

I_1 = 0.859141
I_3 = 0.500000
I_5 = 0.359141
I_7 = 0.281718
I_9 = 0.232268
I_11 = 0.197800
I_13 = 0.172342
I_15 = 0.152745
I_17 = 0.137181
I_19 = 0.124514
I_21 = 0.114001
I_23 = 0.105133
I_25 = 0.097550
I_27 = 0.090992
I_29 = 0.085260
I_31 = 0.080248
I_33 = 0.075174
I_35 = 0.081182
I_37 = -0.102127
I_39 = 3.299550
I_41 = -64.631854
I_43 = 1358.628076
I_45 = -29888.458538
I_47 = 687435.905512
I_49 = -16498460.373156
I_51 = 412461510.688040
I_53 = -10723999276.529890
I_55 = 289547980467.666138
I_57 = -8107343453093.292969
I_59 = 235112960139706.843750
I_61 = -7053388804191204.000000

Au vu des résultats que vous avez démontré dans la partie précédente, essayez de proposer une explication à ce que vous observez.

Après avoir proposé une hypothèse, vous pouvez allez voir ce cours pour en découvrir plus sur ce genre de phénomènes et sur comment les détecter / éviter.