Introduction

Le sujet original peut être trouvé à cette adresse, via l'APMEP.

Partie A

On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nul N.

Traitement

Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N −1
   Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin pour

Sortie

Afficher U

Quel est l’affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n−2n+3$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq n$.
   2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
4. Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n − n + 1$.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n − 1$.
5. Soit $p$ un entier naturel non nul
   1. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$, $u_n \geq 10^p$ ?
      On s’intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
   2. Justifier que $n_0 \leq 3p$.
   3. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
   4. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n \geq n_0$ , on ait $u_n \geq 10^p$.
      Aller faire évaluer votre algorithme