Des calculs approchés

Quand on travaille avec des nombres à virgule, le résultat affiché n'est pas toujours exact, car seulement 17 chiffres (avant ou après la virgule) seront conservés au maximum :

print(2 / 3)

0.6666666666666666

Le fait que les nombres puissent être arrondis donne parfois lieu à des résultats surprenants, comme l'illustre l'exemple suivant :

print(1.0 - 0.000000000000000000000001)

1.0

Au contraire, lorsqu'on travaille avec des nombres entiers, les résultats ne sont jamais arrondis. En particulier, les nombres peuvent devenir aussi grands qu'on le souhaite !

print(12345678987654321 * 9876543210123456789)

121932631979881115785550983112635269

Dès qu'on utilise une division, on obtient forcément un nombre à virgule en résultat et cela peut parfois être surprenant :

grosNombre = 1000 * 1000 * 1000 * 1000 * 1000 * 1000
nombre = grosNombre + 1
print(nombre)
nombre = (grosNombre + 1) / 1
print(nombre)
nombre = (grosNombre + 1) / 1 - grosNombre
print(nombre)

1000000000000000001
1e+18
0.0

Le "1e+18" ci-dessus est en fait égal au nombre constitué d'un "1" suivi de 18 "0". Cette notation est expliquée plus en détail au cours suivant.

Mais que s'est-il passé ? Quand on a divisé par 1 on est passé d'un nombre entier (avec un nombre de chiffres non-limité) à un nombre à virgule (qui ne garde que 17 chiffres) et donc le chiffre des unités a été "oublié". Même quand on soustrait le nombre grosNombre on ne peut récupérer ce chiffre des unités et le résultat est donc égal à 0.0 !

Un exemple étonnant

Considérons l'exemple suivant :

prixJeu = 29.99
prixConsole = 299
print(prixJeu + prixConsole - 49.90)

279.09000000000003

Le résultat "mathématique" serait bien sur "279.09" alors pourquoi y a-t-il ce "3" tout à la fin ? La méthode utilisée par l'ordinateur pour stocker en mémoire les nombres à virgules ne permet pas de stocker de manière exacte tout nombre à virgule. Ainsi de très légères erreurs peuvent apparaître pour les tout derniers chiffres.

Pas de tests d'égalité

Considérons le programme suivant :

if 0.1 + 0.2 == 0.3:
   print("Exact")
else:
   print("Approché")
print(0.1 + 0.2 - 0.3)

Approché
5.551115123125783e-17

Et oui, "0.1 + 0.2" n'est pas égal à "0.3" ! Ces trois valeurs ne peuvent en fait pas être représentées de manière exacte par l'ordinateur et donc "0.1 + 0.2" n'est qu'une approximation du rationnel "3 / 10", tandis que "0.3" en est une autre approximation.

Deux approximations du même nombre ne sont pas forcément égales, elles sont simplement très proches, à une distance à peu près égale à 0.0000000000000000555 !

Conclusion

Vous aurez l'occasion d'en savoir plus sur ces histoires d'approximation dans un prochain cours mais le sujet est assez technique, aussi ne vous en préoccupez pas en détail pour le moment.

La seule chose à retenir c'est que les calculs avec des nombres décimaux ne sont pas exacts mais approchés, à cause de ces petites erreurs. Aussi on utilisera autant que possible des entiers plutôt que des nombres décimaux. En particulier il ne faut jamais faire de tests d'égalité ou d'inégalité sur des nombres décimaux. Quant aux inégalités entre nombres décimaux on évitera aussi et on préférera calculer avec des entiers et ne passer vers des nombres décimaux que le plus tard possible dans le programme.