Introduction

Le sujet original peut être trouvé à cette adresse, via l'APMEP.

Modifications effectuées :

• la partie B a été ajoutée.

Partie A

1. On considère l'algorithme suivant

   Entrée	Saisir un réel strictement positif non nul $a$ Saisir un réel strictemenl positif non nul $b$ ($b > a$) Saisir un entier naturel non nul $N$
   Initialisation	Affecter à $u$ la valeur $a$ Affecter à $v$ la valeur $b$ Affecter à $n$ la valeur 0
   Traitement	TANTQUE $n < N$ Affecter à $n$ la valeur $n + 1$ Affecter à $u$ la valeur $\frac{a+b}{2}$ Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ Affecter à $a$ la valeur $u$ Affecter à $b$ la valeur $v$
   Sortie	Afficher $u$, afficher $v$.

   Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a=4$, $b=9$ et $N=2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.

   n	a	b	u	v
   0	4	9
   1
   2

   
   Attention : valeurs non mémorisées pour le moment, système d'évaluation temporaire.

   Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
   On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=a$, $v_0=b$ et, pour tout entier naturel $n$ :

   $$ u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2} $$ et $$ v_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}{2}} $$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n>0$ et $v_n>0$.
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$ v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\left(\frac{u_n-v_n}{2}\right)^2 $$ En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $$ u_n \leq v_n. $$
3. 1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   2. Comparer $v_{n+1}^2$ et $v_{n}^2$. En déduire le sens de variation de la suite $(v_n)$.
4. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes.

Partie B

Non demandé au BAC

Toutes les questions de cette partie sont indépendantes : elles peuvent être traitées en admettant les résultats des questions précédentes et de la partie A.

1. Montrer que $v_{n+1}^2-u_{n+1}^2 = \dfrac{1}{4} (v_n-u_n)^2$.
2. 1. Montrer que pour tout $A$ et $B$, si $0 \lt A \lt B$ alors $(B-A)^2 \lt B^2 - A^2$.
   2. En déduire que $v_{n+1}-u_{n+1} \lt \dfrac{1}{2} (v_n-u_n)$.
3. Prouver par récurrence que pour tout $n\ge0$, $v_n-u_n \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n (b-a)$.
4. En déduire que $u$ et $v$ ont la même limite.
5. Donner un algorithme qui calcule et affiche cette limite à une précision de $10^{-5}$ près.
   Aller faire évaluer votre algorithme