Introduction

Le sujet original peut être trouvé à cette adresse, via l'APMEP.

Modifications effectuées :

• le nom des variables a été changé dans l'algorithme (question B.1), afin de le clarifier et par souci de cohérence avec la partie C ;
• les questions 1 et 3 de la partie B ont été amendées (ajout d'une phrase et d'un mot) afin de préciser la différence entre valeur exacte et valeur approchée.

Prérequis

• Mathématiques : intégration, suites, logarithme.

• Algorithmique : variables, boucles, entrée/sortie, décimaux.

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1, +\infty[$ par : $$ f(x) = \frac{1}{x+1}+\ln\left(\frac{x}{x+1}\right) $$

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
2. Démontrer que pour pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1,+\infty[$ : $$ f'(x) = \frac{1}{x(x+1)^2}. $$ Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
3. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1,+\infty[$.

Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par $$ u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n. $$

1. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	$k$ et $n$ sont des entiers naturels. $S$ est un réel.
   Entrée :	Demander à l’utilisateur la valeur de $n$.
   Initialisation :	Affecter à $S$ la valeur 0.
   Traitement :	Pour $k$ variant de 1 à $n$. Affecter à $S$ la valeur $S + \displaystyle\frac{1}{k}$.
   Sortie :	Afficher $S$.

   Donner sous forme d'une fraction, la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n=3$.
   On supposera que l'algorithme calcule de manière idéale, avec une précision infinie.

2. Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_n$ lorque l'utilisateur entre la valeur de $n$.
   Aller faire évaluer votre algorithme
3. Voici les résultats approchés fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. $$ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 100 & 1000 & 1500 & 2000\\ \hline u_n & 0.697 & 0.674 & 0.658 & 0.647 & 0.638 & 0.632 & 0.626 & 0.582 & 0.578 & 0.578 & 0.577\\ \hline \end{array} $$ À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ et son éventuelle convergence.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $(u_n)$ telle que pour tout entier strictement posifif $n$ : $$ u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n. $$

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$ : $$ u_{n+1} - u_n = f(n) $$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

   En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

2. 1. Soit $k$ un entier strictement positif. Justifier l'inégalité : $$ \int_{k}^{k+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{x}\right)\,dx \geq 0. $$ En déduire que : $$ \int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,dx \leq \frac{1}{k}. $$ Démontrer l'inégalité : $$ \ln(k+1)-\ln(k) \leq \frac{1}{k}\hspace{1.5cm} (1). $$
   2. Écrire l'inégalité (1) en remplaçant sucessivement $k$ par $1,2,\ldots,n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$ : $$ \ln(n+1) \leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}. $$
   3. En déduire que pour tout entier strictement positif $n$, $u_n \geq 0$.
3. Prouver que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.