Au cours des chapitres précédents, nous avons eu l'occasion d'utiliser des fonctions, que ce soit pour éviter de recopier plusieurs fois le même code, ou pour découper le code en parties plus simples. Dans ce chapitre, nous allons voir une autre utilisation des fonctions, qui en fait un outil très puissant pour écrire des algorithmes. Cette utilisation est ce que l'on appelle la récursivité.

La récursivité est un principe assez général, qui ne se limite pas à la programmation et l'algorithmique. Ce principe décrit la propriété de concepts ou d'objets qui se définissent à partir d'eux-mêmes.

On pourrait penser qu'un objet qui est défini à partir de lui-même n'a pas de sens : comment comprendre le sens d'un mot, si sa définition utilise ce mot ? Pour comprendre la définition du mot, ne faudrait-il pas déjà le connaître ? Nous allons voir qu'une telle définition, si l'on prend quelques précautions, peut au contraire être très claire, souvent plus claire qu'une définition ne faisant pas appel au mot lui-même.

Prenons un exemple de définition récursive d'un objet :

Une poupée russe est un objet en forme de personnage, qui contient souvent une poupée russe semblable, mais plus petite. Pour décrire ce qu'est une poupée russe, on a bien utilisé le nom de l'objet lui-même. Cette définition est pourtant très claire, même pour quelqu'un qui n'a jamais vu un tel objet.

Les poupées russes sont très loin d'être les seuls objets pour lesquels une définition récursive a un sens. De très nombreuses notions se définissent naturellement de manière récursive, et on en trouve beaucoup en informatique. Voici un autre exemple :

Un répertoire est un élément informatique qui peut contenir des fichiers et des répertoires. Sauriez-vous définir la notion de répertoire sans réutiliser le mot répertoire, et sans rendre la définition incomplète ? Pas facile... un répertoire est en lui-même un concept récursif.

On peut remarquer plusieurs points communs entre nos deux exemples, qui décrivent pourtant des choses très différentes : l'un est un objet du monde réel, tandis que l'autre n'est qu'une abstraction, qui n'existe que d'un point de vue logiciel.

Le premier point commun est que dans les deux cas, on décrit un objet qui peut contenir d'autres objets. C'est souvent le cas de ce que l'on décrit récursivement, mais pas toujours, nous le verrons plus tard.

Le deuxième point commun est que la définition implique qu'il est possible que l'objet ne contienne rien. Une poupée russe contient souvent une autre poupée, mais pas toujours. Un répertoire peut contenir d'autres répertoires, mais peut aussi être vide, ou ne contenir que des fichiers. On pourrait bien sûr définir une poupée russe qui contient toujours une autre poupée russe, mais on aurait alors une infinité de poupées, ce qui ne peut exister dans le monde réel et n'est qu'une idée abstraite. Ce point est commun à la plupart des définitions récursives et on la retrouvera dans toutes celles que nous définirons.

Dans le cas des fonctions, la récursivité s'exprimera tout simplement sous la forme de fonctions qui s'appellent elles-mêmes. Nous verrons comment cela fonctionne en pratique, et à quoi cela peut servir.